Mes travaux

Création d’une famille de formules numériques (P_k) permettant de générer la suite croissante et exclusive des nombres premiers, bornée par le carré p_k+1² du nombre premier de rang k+1.

• La formule P₁ génère la suite des entiers impairs :
     1-3-5-7-9-11-13 etc.
• La formule P₂ génère la suite des entiers premiers avec 2 et 3 :
     1-5-7-11-13-17-19-23-25-29-31 etc.
• La formule P₃ génère la suite des entiers premiers avec 2, 3 et 5 :
     1-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-49-53-59-61-67-71-73-77-79 etc.
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• La formule P_k génère la suite des entiers premiers avec 2, 3, 5, … p_k.

On découvre dans ce premier chapitre comment la formule P_k se déduit logiquement des précédentes : P₁, P₂, P₃, …et P_k-1.

Création d’un indicateur trigonométrique permettant de tester la primalité ou la non-primalité d’un nombre entier naturel.

L’indicateur I_p , composé de produits finis de fonctions sinusoïdales, retourne les valeurs ±1 quand le nombre testé est premier et 0 s’il est composé.

Le présent chapitre intègre la démonstration de l’infinité des nombres premiers jumeaux. (non accessible sur ce site afin d’en protéger la propriété intellectuelle)

Il est principalement consacré aux couples de nombres premiers appelés jumeaux (séparés de deux unités) et cousins (séparés de quatre unités), aux quadruplets (ou 4-uplets), sextuplets (6-uplets) et octuplets (8-uplets).

Les n-uplets décrits dans ce chapitre sont des groupements très denses de n nombres premiers successifs répondant à la condition suivante :

• Les entiers intermédiaires sont tous multiples de deux, trois ou cinq.

Prenons l’exemple des trois 9-uplets suivants :

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ;

1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307 ;

226 449 521, 226 449 523, 226 449 527, 226 449 529, 226 449 533, 226 449 539, 226 449 541, 226 449 547, 226 449 551.

Dans le premier 9-uplet, les entiers intermédiaires 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45 et 46 sont tous multiples de deux, trois ou cinq. On trouve ainsi un maximum de sept nombres premiers (19, 23, 29, 31, 37, 41 et 43) entre les nombres premiers extrêmes 17 et 47,  distants d’un minimum de trente unités.

Dans le second 9-uplet, les entiers intermédiaires 1278, 1280, 1281, 1282, 1284, 1285, 1286, 1287, 1288,…, 1304, 1305 et 1306 sont tous multiples de deux, trois ou cinq. On trouve également un maximum de sept nombres premiers (1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301 et 1303) entre les nombres premiers extrêmes 1277 et 1307, distants d’un minimum de trente unités.

Les mêmes considérations s’appliquent au troisième exemple de 9-uplet.

Voici quelques-uns des premiers quadruplets, sextuplets et octuplets observés dans la suite infinie des nombres premiers (à noter que les n-uplets disposés autour d’entiers multiples de 15 sont marqués en surbrillance verte) :

* quadruplets (4-uplets)

5 7 11 13 ; 7 11 13 17 ; 11 13 17 19 ; 37 41 43 47 ; 97, 101, 103, 107 ; 101, 103, 107, 109 ; 103, 107, 109, 113 ; 191, 193, 197, 199 ; 223, 227, 229, 233 ; 307, 311, 313, 317 ; 457, 461, 463, 467 ; 821, 823, 827, 829 ; 853, 857, 859, 863 ; 877, 881, 883, 887 ; 1087, 1091, 1093, 1097 ; 1297, 1301, 1303, 1307 ; 1423, 1427, 1429, 1433 ; 1481, 1483, 1487, 1489 ; … ; 1871, 1873, 1877, 1879 ; … ; 16 061, 16 063, 16 067, 16 069 ; … ; 43 781, 43 783, 43 787, 43 789 ; … ; 226 449 521, 226 449 523, 226 449 527, 226 449 529 ; etc.

* sextuplets (6-uplets)

7 11 13 17 19 23 ; 11 13 17 19 23 29 ; 13 17 19 23 29 31 ; 17 19 23 29 31 37 ; … ; 29 31 37 41 43 47 ; … ; 97, 101, 103, 107, 109, 113 ; 223, 227, 229, 233, 239, 241 ; … ; 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297 ; 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307 ; 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499 ; 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627 ; 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879 ; 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547 ; … ; 16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073 ; … ; 27 733, 27 737, 27 739, 27 743, 27 749, 27 751 ; … ; 43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793 ; … ; 226 449 521, 226 449 523, 226 449 527, 226 449 529, 226 449 533,  226 449 539 ;  etc.

* octuplets (8-uplets)

  7 11 13 17 19 23 29 31 ; 11 13 17 19 23 29 31 37 ; …. ;  1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303 ; …. ;  226 449 521, 226 449 523, 226 449 527, 226 449 529, 226 449 533, 226 449 539, 226 449 541, 226 449 547 ;  etc.

Il s’agit d’une méthode de création rapide par paquets de grands nombres premiers sur un intervalle donné.

Cette méthode est développée dans des tables au format Excel.

Etudes diverses en arithmétique, algèbre et géométrie algébrique.

(En cours de préparation à partir de mes cahiers manuscrits de jeunesse)