Les nombres premiers – Tour d’horizon

Euclide (320 - 260 AV J.C.)Mathématicien de la Grèce Antique

Euclide est l’auteur de l’ouvrage Eléments, l'un des textes fondateurs des mathématiques élémentaires en Occident.

Cette oeuvre est l’un des plus anciens traités connus présentant de manière systématique, à partir d'axiomes et de postulats, un large ensemble de théorèmes accompagnés de leurs démonstrations. Il porte sur la géométrie, tant plane que solide, et l’arithmétique théorique.

Les livres VII, VIII et IX, appelés Livres arithmétiques, traitent de la divisibilité des nombres entiers, des nombres premiers, de la construction du plus grand diviseur entier commun à deux ou plusieurs entiers, des nombres en progression géométrique et donnent un critère pour construire des nombres parfaits (c’est-à-dire des nombres entiers égaux à la somme de leurs diviseurs propres). On y trouve un procédé par soustractions successives répétées, qui est maintenant à la base de la division euclidienne et de l’algorithme d'Euclide.
Dans le livre VII, on trouve pour la première fois l’algorithme d'Euclide. Le livre IX démontre qu’il existe une infinité de nombres premiers. Il propose également une ébauche de démonstration du théorème fondamental de l'arithmétique et donne le résultat de la somme d’une suite géométrique.

Algorithme d’Euclide

Algorithme simple et célèbre qui permet de calculer le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres entiers positifs, c'est-à-dire le plus grand nombre entier les divisant tous les deux.

Théorème d’Euclide

Il existe une infinité de nombres premiers

La démonstration d’Euclide est la suivante :
Soit 2, 3, 5, ... p la suite croissante et finie des nombres premiers jusqu’à un nombre premier p déterminé, et soit :

N = 2.3.5...p + 1, leur produit augmenté de l’unité.

Alors N n’est divisible par aucun des nombres premiers de la suite finie 2, 3, 5, ... p.
Donc, soit N est premier, soit il est divisible par un nombre premier compris entre p et N.
Dans les deux cas, il existe ainsi un nombre premier plus grand que p.
A noter que ce théorème est équivalent à : π(x) → +∞

Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout entier naturel s’écrit de manière unique en un produit de nombres premiers.
Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

Pierre de FERMAT (1607 - 1665)Mathématicien Français

Pierre de Fermat est particulièrement connu pour ses nombres dits « de Fermat », son petit théorème et son dernier théorème.

Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat est un nombre - noté F_n - qui peut s'écrire sous la forme :

₂2ⁿ + 1, où n est un entier naturel

Pierre de Fermat émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F₅ étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F₃₂. On ne sait pas si les nombres de Fermat supérieurs à F₃₂ sont premiers ou composés. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont F₀, F_1, F₂, F₃ et F₄.

Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors : a^p−1 ≡ 1 (mod p)

Gottfried Wilhelm Leibniz a rédigé en 1683 une démonstration qu'il ne publie pas. Leonhard Euler démontra le théorème avec les mêmes arguments, communiqua cette preuve le 2 août 1736 à l’Académie de Saint-Pétersbourg puis la publia en 1741.

Grand (ou dernier) théorème de Fermat

Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y, z vérifiant l'équation :
xⁿ + yⁿ = zⁿ lorsque n est un entier strictement supérieur à 2.

Ce théorème fut démontré dans sa généralité par le mathématicien anglais Andrew Wiles, de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor. Après une première présentation en juin 1993, puis la découverte d'une erreur et un an de travaux supplémentaires, la preuve fut finalement publiée en 1995 dans "Annals of Mathematics".

Christian GOLDBACH (1690 - 1764)mathématicien prussien

Né à Königsberg (en Prusse à l’époque) en 1690, Christian Goldbach fit ses études de mathématiques à l’université de la même ville et fut admis en 1725 à l’académie impériale des sciences et des arts de Saint-Pétersbourg, à l'invitation de Blümentrost ‘der Jüngere’ (1692-1755), médecin russe qui fut le premier président de cette académie fondée depuis un an par Pierre le Grand (1672-1725), empereur de toutes les Russies. Christian Goldbach est essentiellement connu pour les conjectures qui portent son nom.

Conjecture ‘faible’ de Goldbach dite ‘impaire’ (‘Schwache’ Goldbachsche Vermutung)

Rédaction allemande originale (dans une note à Euler le 7 juin 1742) :

Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser als (5) ist, ein aggregatum trium numerorum primorum sei.

Traduction française :

Il semble quasi certain que tout nombre entier plus grand que (5) soit la somme de trois nombres premiers.

En 1923, Hardy et Littlewood ont montré que, en supposant vraie une certaine généralisation de l'hypothèse de Riemann, la conjecture faible de Goldbach est vraie pour tous les nombres impairs suffisamment grands.

Conjecture ‘forte’ de Goldbach dite ‘paire’ (‘Starke’ Goldbachsche Vermutung)

Rédaction allemande (rappelée à Goldbach par Euler le 30 juin 1742) :

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Traduction française :

Tout entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Leonhard EULER (1707 - 1783)Mathématicien suisse

Leonhard Euler fut le pionnier de l'utilisation de méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes de la théorie des nombres. Il a réuni deux branches différentes des mathématiques et introduit un nouveau champ d'étude : la théorie analytique des nombres. Il a prouvé l'infinité des nombres premiers en utilisant la divergence de la série harmonique, et a utilisé les méthodes analytiques pour avoir une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers. Les travaux d'Euler dans ce domaine ont contribué à l'élaboration du théorème des nombres premiers. Il a développé quelques idées sur les travaux de Fermat et réfuté certaines de ses conjectures.

Euler a démontré que la série des inverses des nombres premiers diverge et découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et la distribution des nombres premiers. Il a démontré les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème des deux carrés de Fermat et a également travaillé sur le théorème des quatre carrés de Lagrange. Il a aussi défini la fonction φ – appelée Indicateur d’Euler - qui associe à tout entier n le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n. En utilisant les propriétés de la fonction φ, il a généralisé le petit théorème de Fermat pour aboutir à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème d'Euler.

Euler a contribué de manière significative à la recherche sur les nombres parfaits, lesquels ont fasciné les mathématiciens depuis Euclide. Il a également conjecturé la loi de réciprocité quadratique, considérée comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, ouvrant ainsi la voie aux travaux de Karl Friedrich Gauss.

En 1772, Euler a démontré que le nombre 2³¹ – 1 = 2 147 483 647 est un nombre de Mersenne premier, resté le plus grand nombre premier connu pendant plus d’un siècle (jusqu'en 1867).

Identité d’Euler

Soient s un nombre réel strictement supérieur à 1 et p un nombre premier.

Cette identité a conduit Riemann à l’étude de la fonction ζ(s) dite fonction zêta de Riemann.

Indicateur d’Euler

Pour n ≥ 2, l’indicateur d’Euler φ(n) d’un entier n appartenant à N* est le nombre d’entiers premiers avec n et inférieurs à n. Il s’écrit :

φ (n) = n (1 – 1/p₁)(1 – 1/p₂)...(1 – 1/p_r)

Cet indicateur est d’une grande utilité dans les études relatives aux suites de nombres premiers.

Adrien-Marie LEGENDRE (1752 - 1833)Mathématicien Français

En 1797-1798, Legendre conjecture ce qui devint plus tard le théorème des nombres premiers dans son ouvrage Théorie des nombres, dont la troisième édition publiée de son vivant en 1830 par Firmin-Didot fut définitive. Gauss avait également établi cette conjecture dès 1792, semble-t-il, mais ne l'a révélée qu'en 1849.

Théorème des nombres premiers

Le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par les mathématiciens Jacques Hadamard, français (1865-1963) et La Vallée Poussin, belge (1866-1962) dans le courant de l’année 1896, énonce que le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque x tend vers +∞, au quotient de x par son logarithme népérien. Soit :

π(x) ≈ x/ln(x) quand x → +∞
Le Russe Pafnouti Tchebychev a établi en 1852 que si x est assez grand :
0,921x/ln(x) < π(x) < 1,106x/ln(x)

Adrien-Marie Legendre apporta d’importantes contributions à la théorie des nombres, à l’algèbre abstraite et à l'analyse. En arithmétique, il fit un travail de pionnier sur la distribution des nombres premiers et l'application de l'analyse à la théorie des nombres.

Conjecture de Legendre

Cette conjecture énonce que :

Il existe au moins un nombre premier entre n² et (n + 1)² pour tout entier n ≥ 1.

Il existe ainsi deux nombres premiers entre 1 et 2², 2² et 3², 3² et 4², trois entre 4² et 5², deux entre 5² et 6², quatre entre 6² et 7², trois entre 7² et 8², quatre entre 8² et 9², trois entre 9² et 10², cinq entre 10² et 11², quatre entre 11² et 12², cinq entre 12² et 13², cinq entre 13² et 14², quatre entre 14² et 15², six entre 15² et 16², sept entre 16² et 17², etc.

Loi de réciprocité quadratique de Legendre-Gauss
Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts ; alors :

Si p est résidu quadratique modulo q, alors q est résidu quadratique modulo p

En utilisant le symbole de Legendre (voir ci-après), cette loi s’exprime comme suit :

(p/q) (q/p) = (-1)^(p-1)(q-1)/4

Tout au long de sa carrière, Gauss a donné sept démonstrations différentes de cette loi.

Symbole de Legendre
Soient a un entier et p un entier premier impair étranger avec a.
Le symbole de Legendre (a/p) est défini par :

(a/p) = 1 si a est résidu quadratique de p ;
(a/p) = -1 si a n’est pas résidu quadratique de p.

Carl-Friedrich GAUSS (1777 - 1855)Mathématicien, astronome & physicien allemand

Surnommé le « prince des mathématiciens », Carl Friedrich Gauss est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Il a apporté de très importantes contributions aux domaines des mathématiques, de l’astronomie et de la physique.
Gauss formula vers 1795 la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers, conjecture qui sera prouvée un siècle plus tard.

Johann P.G. LEJEUNE-DIRICHLET (1805 - 1859)Mathématicien allemand

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet apporta de profondes contributions à la théorie des nombres en créant le domaine de la théorie analytique des nombres et à la théorie des séries de Fourier. On lui doit d'autres avancées en analyse mathématique. On lui attribue la définition formelle moderne d'une fonction.
Sa première recherche, à savoir la démonstration du dernier théorème de Fermat pour le cas n = 5, lui valut une renommée immédiate, car c'était la première avancée dans la démonstration de ce célèbre théorème depuis celle de Fermat du cas n = 4 et celle d'Euler du cas n = 3. Legendre, l'un de ses premiers lecteurs, compléta sa démonstration. Dirichlet compléta sa propre démonstration peu de temps après celle de Legendre et quelques années plus tard, il produisit une démonstration complète pour le cas n = 14.
En juin 1825, il fut invité à donner une conférence sur sa démonstration partielle du cas n = 5 à l'Académie des Sciences, performance exceptionnelle pour un étudiant de 20 ans sans diplôme. Cette conférence à l'Académie des Sciences permit à Dirichlet d'entrer en contact avec Fourier et Poisson, spécialistes de physique théorique, en particulier de la théorie analytique de la chaleur.
Dirichlet épousa en 1832 Rebecka Mendelssohn, sœur du célèbre Felix Mendelssohn (1809-1847), chef d'orchestre, pianiste et compositeur allemand du début de la période romantique.

Théorème de la progression arithmétique
En théorie des nombres, ce théorème s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier a non nul et tout entier b premier avec a :
Il existe une infinité de nombres premiers congrus à b modulo a dans l’ensemble des entiers de la forme an + b.

Ce théorème est une généralisation du théorème d'Euclide affirmant qu’il existe une infinité de nombres premiers. Lejeune-Dirichlet en établit une première démonstration en 1838 en faisant appel aux résultats de l'arithmétique modulaire et de la théorie analytique des nombres. La première démonstration élémentaire est due à Atle Selberg en 1949.

Pafnouti L. TCHEBYCHEV (1821 - 1894)Mathématicien russe

Tchebytchev est connu pour ses travaux sur les probabilités, les statistiques et la théorie des nombres.
En théorie des nombres, Tchebychev obtint en 1848-1852 des résultats corroborant une conjecture de Gauss et Legendre relative à la raréfaction des nombres premiers. Ces résultats lui permirent de démontrer une conjecture énoncée par Bertrand :

Pour tout entier n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n ».

Fonction de Tchebychev
Fonction θ définie sur R*₊ par :

θ(x) = Σ_p≤x ln p
où la sommation est étendue à tous les entiers premiers p tels que 0 < p ≤ x, nombre réel positif supérieur à 2.

Cette fonction intervient en théorie des nombres.

Charles HERMITE (1822 - 1901)Mathématicien français

Ses travaux concernent surtout la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes orthogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles. Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en son honneur. Il est aussi connu comme l'un des premiers à utiliser les matrices.
Il fut le premier à montrer en 1873 qu'une constante naturelle de l'analyse, en l'occurrence le nombre e, base des logarithmes naturels, est transcendante. Ses méthodes furent ensuite étendues par Ferdinand von Lindemann pour prouver en 1882 la transcendance de π.
Il donna une démonstration des théorèmes de Sturm et de Cauchy sur le nombre de racines d'une équation algébrique et montre comment résoudre une équation du 5e degré à l'aide de fonctions elliptiques.
Charles Hermite fut décoré de la médaille de Grand-officier de la Légion d'honneur.

Joseph-Louis-Francois BERTRAND (1822 - 1900)Mathématicien et historien des sciences français – Académie française (1884)

Fils du médecin, naturaliste et physicien Alexandre Bertrand (1795-1831), frère cadet de l’archéologue Alexandre Bertrand (1820-1902) et beau-frère du mathématicien Charles Hermite (1822-1901), Joseph Bertrand est un enfant prodige : à neuf ans, il parle couramment le latin et, à onze ans, suit les cours de l'École polytechnique en auditeur libre. Entre onze et dix-sept ans, il obtient deux baccalauréats, une licence et le doctorat ès sciences avec une thèse sur la théorie mathématique de l'électricité, puis est admis premier au concours d'entrée 1839 de l'École polytechnique.
Il fut professeur de mathématiques au lycée Saint-Louis, répétiteur, examinateur puis professeur d'analyse en 1852 à l'École polytechnique, maître de conférences de calcul différentiel et intégral à l'École normale supérieure et professeur titulaire de la chaire de physique et mathématiques au Collège de France en 1862.

Postulat de Bertrand
En 1845, en analysant une table de nombres premiers jusqu'à 6 000 000, Bertrand fit la conjecture suivante :

Il y a toujours au moins un nombre premier entre n et 2n pour tout n entier positif supérieur ou égal à 2.

Pafnouti TCHEBYCHEV a démontré cette conjecture en 1850.
Pour l’étude de la convergence des séries numériques, il mit au point un critère de comparaison plus fin que le critère de Riemann.

Georg-Friedrich-Bernhard RIEMANN (1826 - 1866)Mathématicien allemand

Un seul article de la plume de Riemann concerne la théorie des nombres, à savoir l’évolution du nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée. L’article contient plusieurs conjectures majoritairement prouvées quelques décennies plus tard. Riemann commente l’une d’elles de façon lapidaire : « Il serait à désirer sans doute que l'on eût une démonstration rigoureuse de cette proposition ; néanmoins, j'ai laissé cette recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux, car elle paraît superflue pour le but immédiat de mon étude. »

C’est la fameuse « hypothèse de Riemann ».

Fonction zêta (ζ) de Riemann 

Soit s un nombre réel strictement supérieur à 1 ; la série de Riemann s’écrit:

ζ(s) = 1 + 1/2^s +1/3^s +1/4^s +…

Cette somme prend des valeurs remarquables pour les valeurs réelles paires de s :

ζ(2) = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² +⋯ = π²/6

ζ(4) = 1+ 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ +⋯ = π⁴/90

ζ(6) = 1 + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ +⋯ = π⁶/945

ζ(8) = 1 + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ +⋯ = π⁸/9450

Plus généralement, pour k є N* :

ζ(2k) = a_kπ^2k où a_k = 2^2k-1|B_2k|/(2k)! Є Q et B_2k est un nombre de Bernoulli :

B₂ = 1/6 ; B₄ = -1/30 ; B₆ = 1/42 ; B₈ = -1/30 ; B₁₀ = 5/66 ; B₁₂ = -691/2730 ; B₁₄ = 7/6 ; etc.

Rappelons l’identité d’Euler :

1 + 1/2^s +1/3^s +1/4^s +… = 1/(1−1/2^s)x1/(1−1/3^s)x1/(1−1/5^s)…

Riemann l’étudia en étendant la variable rélle s au nombre complexe s = σ + it, avec σ réel > 1.

Le premier membre en est désormais défini comme étant la fonction ζ(s) de Riemann. Certaines propriétés de cette fonction ont permis à Hadamard et, indépendamment, La Vallée-Poussin de démontrer le théorème des nombres premiers.

Hypothèse ou conjecture de Riemann 

Cette conjecture affirme que tous les zéros de la fonction (ζ) - autres que les solutions triviales -2, -4, -6, etc.- ont une partie réelle égale à ½. Elle a été vérifiée en 1986 pour les 1 500 000 000 premiers zéros de (ζ).

Elle revêt une importance considérable en théorie des nombres et sa démonstration donnerait un fondement solide à des centaines de travaux mathématiques qui supposent vraie l'assertion de Riemann.

La Fondation Clay pour les mathématiques a proposé un prix d'un million de dollars pour récompenser la preuve toujours manquante de la véracité de l’hypothèse de Riemann.

Franz-Carl-Joseph MERTENS (1840 - 1927)Mathématicien Britannique

Formule de Mertens
Soient x un nombre réel positif et p un entier premier. Quand x tend vers l’infini, on a :

        П (1 – 1/p) ~ e^-C / lnx, où C désigne la constante d’Euler.
        P ≤ x

Godfrey H. HARDY (1877 - 1947)Mathématicien britannique

Lauréat de la médaille Sylvester en 1940 et de la médaille Copley en 1947, Hardy est connu pour ses travaux en théorie des nombres et en analyse. Il collabora avec J. E. Littlewood dès 1911 sur un travail étendu d'analyse et de théorie analytique des nombres.
Dans son ouvrage « Introduction à la théorie des nombres » coécrit avec E.M. Wright, Hardy consacre les trois chapitres I, II et XXII entièrement aux nombres premiers.

Conjecture des nombres premiers jumeaux dite « première conjecture de Hardy-Littlewood »
Cette conjecture fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et s'inspire du théorème des nombres premiers :

Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.

Cette conjecture partage avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach le numéro 8 des problèmes de Hilbert, énoncés par ce dernier en 1900. Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

Soit π₂(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.
On note C2 le nombre obtenu de la façon suivante :

C₂ = П p(p-2)/(p-1)² = 0,66016…
        ^{p ≥ 3}
(ici, le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3)

C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux ou constante de Shah et Wilson.

La conjecture de Hardy-Littlewood se complète de la loi de distribution suivante :

   π₂(x) ≈ 2C₂ ƒ₂^x dt/(ln t)²

Elle évalue par cette formule le cardinal des nombres premiers jumeaux inférieurs à x. Elle est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

John E. LITTLEWOOD (1885 - 1977)Mathématicien anglais, membre de la Royal Society

La plupart des travaux de Littlewood ont été effectués dans le domaine de l'analyse mathématique. Il commença ses recherches en tentant de prouver l'hypothèse de Riemann : Littlewood a montré que si l'hypothèse de Riemann est vraie, le théorème des nombres premiers l’est également. Ce travail lui a valu la bourse Trinity.
Littlewood a collaboré pendant de nombreuses années avec G. H. Hardy. Ensemble, ils ont conçu la première conjecture de Hardy-Littlewood, ou conjecture des nombres premiers jumeaux et la seconde conjecture de Hardy-Littlewood.

Seconde conjecture de Hardy-Littlewood
En théorie des nombres, la seconde conjecture de Hardy-Littlewood prédit que la fonction de compte des nombres premiers est sous-additive. Elle a été formulée en 1923.
Soit π(x) le nombre de nombres premiers p tels que p ≤ x, la conjecture postule que :

π(x + y) - π(x) ≤ π(y) pour tous x, y ≥ 2.

Ce qui signifie que le nombre de nombres premiers compris entre x et x + y est toujours inférieur ou égal au nombre de nombres premiers inférieurs à y.
Par exemple :

π(x + 4) - π(x) ≤ π(4), soit 2 pour x ≥ 2.
π(2x) ≤ 2π(x), pour x ≥ 2.

Ivan M. VINOGRADOV (1891 - 1983)Mathématicien russe

Ivan Vinogradov, fils d’un pope russe, fut mathématicien et académicien (1929) de l’URSS, spécialiste de la théorie analytique des nombres.

Vinogradov a imaginé un procédé sommatoire pour les séries trigonométriques de la forme :

f (α, N) =      Σ exp (2πiαp)
    ^{p ≤ N}

(la sommation est étendue à tous les nombres premiers p inférieurs à une borne N ; α est un nombre réel)

Hermann Weyl s'était intéressé à ces séries dès 1916 dans le cadre de la théorie analytique des nombres, puis Hardy et Littlewood en ont fait un outil puissant de cette même branche (‘méthode du cercle’ de Hardy-Littlewood).

En 1937, Vinogradov suscite l'émotion en démontrant avec cette technique que tout entier impair suffisamment grand peut être décomposé comme somme de trois nombres premiers (théorème de Vinogradov), étape importante dans la résolution de la conjecture (faible) de Goldbach. Vinogradov appliqua sa méthode à bien d'autres questions de la théorie additive des nombres, comme le problème de Waring.

Ses travaux ont été récompensés par la médaille Lomonossov (1970) et le prix Lomonossov (1971).

Andrew WILES (1953 - )Mathématicien britannique

Professeur à l'université d'Oxford d'Angleterre, Andrew Wiles est célèbre pour avoir démontré le grand théorème de Fermat en 1994. Il est lauréat du prix Fermat 1995 et du prix Abel 2016 « pour sa démonstration stupéfiante du dernier théorème de Fermat en utilisant la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant une ère nouvelle en théorie des nombres ».

En 2017, il reçut la médaille Copley de la Royal Society.